問 1
畳み込みの定理、Wiener-Khintchineの定理を導出せよ。
畳み込みの定理、Wiener-Khintchineの定理を導出せよ。
証明 0.2
まず、 であるから
また、 であるから
さらに、
であるから、(証明は後述)
そして、 であるから、
式(1)について。
ここで、
であるから、考えるべきはの項の部分のみ。
ここで、Riemann-Lebesgueの補助定理より、は原点以外では連続である から、右辺の積分区間が である項は零に収束する。
より、 を不等式で評価すれば、
ここで、複素積分を実行すれば さらに、 は任意の正数なので、 を考えれば、 従って、 証明終了。
まず、 であるから
また、 であるから
さらに、
であるから、(証明は後述)
そして、 であるから、
式(1)について。
示すべきは、任意のテスト関数について、以下が成立することを示せばよ い。
ここで、
であるから、考えるべきはの項の部分のみ。
そこで、 の原点特異性より積分区間を で区切って考えると、
ここで、Riemann-Lebesgueの補助定理より、は原点以外では連続である から、右辺の積分区間が である項は零に収束する。
よって、残りの項を考えると、
より、 を不等式で評価すれば、
ここで、複素積分を実行すれば さらに、 は任意の正数なので、 を考えれば、 従って、 証明終了。
定理 0.3 (Wiener-Khintchineの定理)
証明 0.4
とすると、
従って、
ここで、畳み込みの定理より
また、Fourier変換の性質より であるから、
離散の場合も同様にして、 が分かる。
とすると、
従って、
ここで、畳み込みの定理より
また、Fourier変換の性質より であるから、
離散の場合も同様にして、 が分かる。
証明終了。