convolution

問 1
畳み込みの定理、Wiener-Khintchineの定理を導出せよ。

定理 0.1 (畳み込みの定理)

$\displaystyle \mathcal{F}[x(t)*y(t)]$	$\displaystyle = X(\omega)Y(\omega)$
$\displaystyle \mathcal{F}[x[n]*y[n]]$	$\displaystyle = X[k]Y[k]$
$\displaystyle \mathcal{F}[x(t)y(t)]$	$\displaystyle =\frac{1}{2\pi} X(\omega)*Y(\omega)$
$\displaystyle \mathcal{F}[x[n]y[n]]$	$\displaystyle =\frac 1 N X[k]*Y[k]$

証明 0.2
まず、

$\displaystyle x(t)*y(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau)y(t-\tau) d \tau$

であるから

$\displaystyle \mathcal{F}[x(t)*y(t)]$	$\displaystyle =\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty x(\tau)y(t-\tau) d \tau e^{-i\omega t } d t$
	$\displaystyle =\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty x(\tau)e^{-i\omega \tau }y(t-\tau)\tau e^{-i\omega (t-\tau) } d \tau d t$
	$\displaystyle =\int_{-\infty}^\infty x(\tau)e^{-i\omega\tau} d \tau \int_{-\infty}^\infty y(s)e^{-i\omega s} d s \ \ \ \ (\because s:=t-\tau)$
	$\displaystyle =X(\omega)\times Y(\omega)$

また、

$\displaystyle x[n]*y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]y[n-m]$

であるから

$\displaystyle \mathcal F [x[n]*y[n]]$	$\displaystyle =\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}x[m]y[n-m]\exp \left(-i\frac{2\pi kn}{N}\right)$
	$\displaystyle =\sum_{m=0}^{N-1}x[m]\exp\left(-i\frac{2\pi k m }{N}\right) \sum_{\ell=0}^{N-1}y[\ell ]\exp\left(-i\frac{2\pi k \ell}{N}\right)$
	$\displaystyle \left(\because \ell:=n-m , y[n]は周期信号\right)$
	$\displaystyle =X[k]\times Y[k]$

さらに、

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi t} d\xi =2\pi \delta (t)$

(1)

であるから、（証明は後述）

$\displaystyle \mathcal F[x(t)\times y(t)]$	$\displaystyle =\int_{-\infty}^\infty x(t)y(t)e^{-i\omega t} d t$
	$\displaystyle =\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x(t)y(\tau)e^{-i\omega \tau} \delta(t-\tau) d t d \tau$
	$\displaystyle =\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x(t)y(\tau)e^{-i\ome... ...(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi(t-\tau)} d \xi \right) d t d \tau$
	$\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty x(t)y(\tau)e^{-i\omega\tau}e^{-i\xi(t-\tau)} d t d \tau d \xi$
	$\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^{\infty}... ... \left(\int_{-\infty}^{\infty}y(\tau)e^{-i(\omega-\xi)\tau} d \tau\right) d \xi$
	$\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(\xi)Y(\omega-\xi) d\xi$
	$\displaystyle =\frac{1}{2\pi} X(\omega)*Y(\omega)$

そして、

$\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1}\exp\left(-i\frac{2\pi (k-\ell))n}{N}\right)=N\delta_{k,\ell}$

であるから、

$\displaystyle \mathcal F [x[n]\times y[n]]$	$\displaystyle =\sum_{n=0}^{N-1} x[n]y[n]\exp\left(-i\frac{2\pi kn}{N}\right)$
	$\displaystyle =\sum_{n=0}^{N-1} x[n]y[n]\exp\left(-i\frac{2\pi kn}{N}\right)$
	$\displaystyle =\sum_{n=0,\ell=0}^{N-1} x[n]y[n]\exp\left(-i\frac{2\pi \ell n}{N}\right)\delta_{k,\ell}$
	$\displaystyle =\sum_{n=0,\ell=0}^{N-1} x[n]y[n]\exp\left(-i\frac{2\pi\ell n}{N}... ...t(\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}\exp\left(-i\frac{2\pi(k-\ell) m}{N}\right)\right)$
	$\displaystyle =\sum_{n=0,\ell=0,m=0}^{N-1} x[n]y[n]\exp\left(-i\frac{2\pi\ell(n-m) }{N}\right) \frac{1}{N}\exp\left(-i\frac{2\pi k m}{N}\right)$
	$\displaystyle =\sum_{n=0,m=0}^{N-1} x[n]y[n]\delta_{n,m}\exp\left(-i\frac{2\pi k m}{N}\right)$
	$\displaystyle =\sum_{n=0,m=0}^{N-1} x[n]y[m]\delta_{n,m}\exp\left(-i\frac{2\pi k m}{N}\right)$
	$\displaystyle =\sum_{n=0,\ell=0,m=0}^{N-1} x[n]y[m]\exp\left(-i\frac{2\pi\ell(n-m) }{N}\right) \frac{1}{N}\exp\left(-i\frac{2\pi k m}{N}\right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{N}\sum_{n=0,m=0,\ell=0}^{N-1} x[n]y[m]\exp\left(-i\frac{2\pi\ell n}{N}\right) \exp\left(-i\frac{2\pi (k-\ell)m}{N}\right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{N}\sum_{\ell=0}^{N-1} \left(\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\exp\le... ...t) \left(\sum_{m=0}^{N-1}y[m]\exp\left(-i\frac{2\pi(k-\ell) m}{N}\right)\right)$
	$\displaystyle =\frac{1}{N}\sum_{\ell=0}^{N-1}X[\ell]Y[k-\ell]$
	$\displaystyle =\frac{1}{N}X[k]*Y[k]$

式（1）について。

示すべきは、任意のテスト関数について、以下が成立することを示せばよい。

$\displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{-\infty}^\infty d t \int_{-R}^R d\xi f(t)e^{-i\xi t}$

$\displaystyle =2\pi f(0)$

ここで、

$\displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{-\infty}^\infty d t \int_{-R}^R d\xi f(t)\sin(\xi t )$	$\displaystyle = \lim_{R\to\infty}\int_{-\infty}^\infty d t f(t)\left[ \frac{-\cos(\xi t)}{t} \right]_{-R}^{R}$
	$\displaystyle = \lim_{R\to\infty}\int_{-\infty}^\infty d t f(t)\left[ \frac{-\cos(Rt)}{t}-\frac{-\cos(-Rt)}{t} \right]$
	$\displaystyle = \lim_{R\to\infty}\int_{-\infty}^\infty d t f(t)\cdot 0$
	$\displaystyle =0$

であるから、考えるべきは $\cos$ の項の部分のみ。

そこで、 $\sin(Rt)/t$ の原点特異性より積分区間を $[-\varepsilon,\varepsilon]$ で区切って考えると、

$\displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{-\infty}^\infty d t \int_{-R}^R d\xi f(t)\cos(\xi t )$	$\displaystyle =\lim_{R\to\infty}\int_{-\infty}^\infty d t f(t)\left( \frac{2\sin(Rt)}{t}\right)$
	$\displaystyle =\lim_{R\to\infty}\left( \int_{-\infty}^{-\varepsilon}+\int_{-\va... ...n}^{\varepsilon}+\int_{\varepsilon}^{\infty}\right) d t \frac{2f(t)}{t}\sin(Rt)$
	$\displaystyle =\lim_{R\to\infty}\left( \int_{-\infty}^{-\varepsilon}+\int_{-\va... ...n}^{\varepsilon}+\int_{\varepsilon}^{\infty}\right) d t \frac{2f(t)}{t}\sin(Rt)$

ここで、Riemann-Lebesgueの補助定理より、は原点以外では連続であるから、右辺の積分区間が $(-\infty,-\varepsilon),(\varepsilon,\infty)$ である項は零に収束する。

よって、残りの項を考えると、

$\displaystyle I_\varepsilon:=\lim_{R\to\infty}\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon} d t \frac{2f(t)}{t}\sin(Rt)$

$\displaystyle =\lim_{R\to\infty}\int_{-R\varepsilon}^{R\varepsilon} d z \frac{2f(z/R)}{z}\sin(z)\ \ \ \left(\because z:=RT\right)$

より、 $I_\varepsilon$ を不等式で評価すれば、

$\displaystyle \min_{t\in(-\varepsilon,\varepsilon)}2f(t)\int_{-\infty}^\infty d... ...t\in(-\varepsilon,\varepsilon)}2f(t)\int_{-\infty}^\infty d z \frac{\sin(z)}{z}$

ここで、複素積分を実行すれば

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iz}}{z} d z = i\pi$

さらに、 $\varepsilon$ は任意の正数なので、 $\varepsilon\to 0$ を考えれば、

$\displaystyle \min_{t\in(-\varepsilon,\varepsilon)}f(t)\to f(0), \max_{t\in(-\varepsilon,\varepsilon)}f(t)\to f(0)$

従って、

$\displaystyle I_\varepsilon \to 2\pi f(0)$

証明終了。

定理 0.3 (Wiener-Khintchineの定理)

$\displaystyle \mathcal{F}[r_{xx}(\tau)]$

$\displaystyle = X(\omega)X^*(\omega)=\vert X(\omega)\vert^2$

証明 0.4
とすると、

$\displaystyle x^(\tau)y(\tau)$	$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)y(\tau-t) d t$
	$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)x(t-\tau) d t$

従って、

$\displaystyle r_{xx}(\tau)=x^*(-\tau)*y(-\tau)$

ここで、畳み込みの定理より

$\displaystyle \mathcal F [r_{xx}]$	$\displaystyle =\mathcal F[x^(-\tau)y(-\tau)]$
	$\displaystyle =\mathcal F [x^*(-\tau)]\mathcal F [x(\tau)]$

また、Fourier変換の性質より $\mathcal F ^*[x(\tau)]=\mathcal F [x^*(-\tau)]$ であるから、

$\displaystyle \mathcal F [r_{xx}](\tau)$	$\displaystyle =\mathcal F [x^*(-\tau)]\mathcal F [x(\tau)]$
	$\displaystyle =\mathcal F^* [x(\tau)]\mathcal F [x(\tau)]$
	$\displaystyle =\left\vert\mathcal F [x(\tau)]\right\vert^2$
	$\displaystyle =\left\vert X(\omega)\right\vert^2$

離散の場合も同様にして、

$\displaystyle \mathcal F [r_{xx}[n]] = \left\vert X[k]\right\vert^2$

が分かる。

証明終了。

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