証明

まず、区間

を

個の等間隔区間 $[x_k,x_{k+1}]$ に分ける。この区間の幅を $\Delta$ とすると、 $\Delta=(b-a)/n$ である。そして、 $x_1=a,x_{n+1}=b$ である。この区間で積分区間を分割する。さらに以下のように変形する。

$\displaystyle \int_a^b f(x)\sin Nx \mathrm{d}x$	$\displaystyle = \sum_{k=1}^{n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\sin Nx \mathrm{d}x$
	$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(f(x)-f(x_k)\right)\sin Nx\mathrm{d}x +\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x_k)\sin Nx \mathrm{d}x \right)$

ここでの連続性より、任意の正数 $\varepsilon$ に対して、ある正数 $\delta$ が存在して、 $\vert x-y\vert<\delta$ ならば、 $\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$ となる。

ゆえに、 $\Delta < \delta$ となるように十分大きくを選べび、さらに、 $M=\max_{a \leq b}f(x)$ とする。

$\displaystyle \left\vert\int_a^b f(x)\sin Nx \mathrm{d}x \right\vert$	$\displaystyle = \left\vert\sum_{k=1}^{n}\left(\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(f(x)-f(... ...Nx\mathrm{d}x +\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x_k)\sin Nx \mathrm{d}x \right)\right\vert$
	$\displaystyle \leq \sum_{k=1}^{n}\left(\left\vert\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(f(x)... ...rt+\left\vert \int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x_k)\sin Nx \mathrm{d}x \right\vert \right)$
	$\displaystyle \leq \sum_{k=1}^{n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\varepsilon\left\vert\sin ... ...x_{k})\right\vert \left\vert\int_{x_k}^{x_{k+1}} \sin Nx \mathrm{d}x\right\vert$
	$\displaystyle \leq \sum_{k=1}^n \varepsilon (x_k-x_{k+1}) +M\sum_{k=1}^n\frac{\vert\cos Nx_{k+1}-\cos Nx_{k}\vert}{N}$
	$\displaystyle \leq \varepsilon (b-a)+\frac{2Mn}{N}$

したがって、 $N > \frac{2nM}{\varepsilon}$ なるように

を十分大きくとれば

$\displaystyle \left\vert\int_a^b f(x) \sin Nx \mathrm{d}x\right\vert \leq \varepsilon (b-a+1)$

ここで任意の $\varepsilon$ に対して

が存在するので、定理が証明された。